Logo

Açılar Birleşince: Trigonometrik Özdeşlikler ve Denklemler

emre argana emre argana
7 Ekim 2026
Okuma süresi: 10 dakika
mathematics foundations trigonometry
index

30 derecelik bir dönüşün ardından 45 derece daha dönersek toplam dönüş 75 derece olur. Açıları toplamak kolaydır. Peki yeni konumun yüksekliğini bulmak için iki açının sinüslerini de doğrudan toplayabilir miyiz?

Denersek sin⁡30∘+sin⁡45∘=1/2+2/2\sin30^\circ+\sin45^\circ=1/2+\sqrt2/2 buluruz. Bu sayı 1’den büyüktür. Oysa birim çember üzerindeki hiçbir noktanın yüksekliği 1’i aşamaz. Demek ki açı toplamı ile sinüs değerlerinin toplamı farklı şeylerdir. Yeni açının sinüsünü hesaplamak için, iki dönüşün yatay ve düşey etkilerini birlikte hesaba katmalıyız.

Önceki yazıda birim çemberde yatay koordinatın kosinüs, düşey koordinatın sinüs olduğunu gördük. Burada bunlara koordinat düzleminde uzaklık, iki kare toplamı, çarpanlara ayırma ve denklem çözme bilgimizi ekleyeceğiz. Vektörleri veya matrisleri henüz kullanmayacağız. Derece yazılmayan açılar radyanla ölçülecek; π\pi radyan ile 180∘180^\circ aynı dönüşü gösterecek.

1. Bir Özdeşlik Ne Söyler?

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

Buradaki sin⁡2x\sin^2x, (sin⁡x)2(\sin x)^2 demektir; açının karesinin sinüsü değildir. Eşitlik, birim çemberin xx açısındaki noktasına Pisagor uygulanmasından gelir. Açı hangi gerçek sayı olursa olsun geçerlidir. Böyle bir eşitliğe özdeşlik deriz.

Buna karşılık sin⁡x=1/2\sin x=1/2 eşitliği her açı için doğru değildir. Söz gelimi x=0x=0 için sol taraf 0’dır. Bu kez eşitliği sağlayan açıları ararız; elimizde bir denklem vardır. Aynı eşitlik işareti kullanılmasına rağmen, yaptığımız iş değişir: özdeşlikte iki ifadenin aynı değeri verdiğini gösterir, denklemde hangi girdilerin eşitliği sağladığını buluruz.

Özdeşliklerin de tanım koşulları vardır. tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x\tan x=\sin x/\cos x eşitliği ancak cos⁡x≠0\cos x\ne0 olduğunda anlamlıdır. “Her açı için doğru” yerine, gerektiğinde “iki tarafın da tanımlı olduğu bütün açılar için doğru” dememiz gerekir. Tanımsız bir ifadeyi eşitliğe yazmak onu tanımlı hâle getirmez.

2. Dönüş Bir Uzaklığı Değiştirmez

Kosinüsün fark bağıntısını, aynı doğru parçasının uzunluğunu iki farklı konumda hesaplayarak kurabiliriz. Birim çember üzerinde açıları aa ve bb olan iki noktayı seçelim. aa ve bb burada iki gerçek açı ölçüsünü temsil eder. Noktalara PP ve QQ dersek koordinatları:

P=(cos⁡a,sin⁡a),Q=(cos⁡b,sin⁡b)P=(\cos a,\sin a),\qquad Q=(\cos b,\sin b)

olur. İki nokta arasındaki doğru parçasına kiriş denir. Uzaklığın karesini d2d^2 ile gösterelim. Koordinat farklarına Pisagor uygularız:

d2=(cos⁡a−cos⁡b)2+(sin⁡a−sin⁡b)2.d^2=(\cos a-\cos b)^2+(\sin a-\sin b)^2.

Her parantezin karesini açalım. Kosinüslerden cos⁡2a−2cos⁡acos⁡b+cos⁡2b\cos^2a-2\cos a\cos b+\cos^2b, sinüslerden sin⁡2a−2sin⁡asin⁡b+sin⁡2b\sin^2a-2\sin a\sin b+\sin^2b gelir. Aynı açıya ait kareleri yan yana getirince:

d2=2−2cos⁡acos⁡b−2sin⁡asin⁡b.d^2=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b.

Buradaki 2, iki ayrı birim yarıçapın karelerinden geldi: cos⁡2a+sin⁡2a=1\cos^2a+\sin^2a=1 ve cos⁡2b+sin⁡2b=1\cos^2b+\sin^2b=1.

Şimdi bütün şekli merkez çevresinde −b-b açısı kadar döndürelim. QQ noktası (1,0)(1,0) konumuna gelir. PP ise açısı a−ba-b olan konuma taşınır. Bir şekli katı biçimde döndürmek uzunluklarını değiştirmez; bu, düzlem geometrisindeki eşlik düşüncesidir. Dolayısıyla aynı dd uzaklığını yeni konumda da hesaplayabiliriz:

d2=(cos⁡(a−b)−1)2+sin⁡2(a−b).d^2=(\cos(a-b)-1)^2+\sin^2(a-b).

Kareyi açınca cos⁡2(a−b)−2cos⁡(a−b)+1+sin⁡2(a−b)\cos^2(a-b)-2\cos(a-b)+1+\sin^2(a-b) elde edilir. İki kare toplamı yine 1 olduğundan:

d2=2−2cos⁡(a−b).d^2=2-2\cos(a-b).

Bir kiriş merkez çevresinde döndürülünce uzunluğu değişmez.

Aynı uzunluğun karesini iki biçimde bulduk. Sağ tarafları eşitleyip her iki taraftan 2 çıkaralım; sonra sıfırdan farklı olan −2-2‘ye bölelim:

cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\boxed{\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.}

Çizimde iki dar açı gösterilmiş olması, sonucun yalnızca dar açılara ait olduğu anlamına gelmez. Koordinatlar işaretli gerçek sayılardır; dönüş ve uzaklık hesabı bütün yönlü açılar için çalışır. Böylece tek bir şeklin görünüşüne bağlı bir varsayım yapmadan genel bağıntıya ulaştık.

3. Toplam ve Fark Formülleri

Birim çemberde yatay eksene göre yansıma, açıyı bb‘den −b-b‘ye götürür. Yatay koordinat değişmez, düşey koordinatın işareti değişir. Bu nedenle cos⁡(−b)=cos⁡b\cos(-b)=\cos b ve sin⁡(−b)=−sin⁡b\sin(-b)=-\sin b olur.

Kosinüs fark bağıntısında bb yerine −b-b yazalım. Solda a−(−b)=a+ba-(-b)=a+b kalır; sağdaki sinüs çarpımı eksi işareti kazanır:

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b.\boxed{\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.}

Sinüs formülünü de aynı geometriden çıkarabiliriz. Birim çemberde sin⁡t=cos⁡(π/2−t)\sin t=\cos(\pi/2-t) ilişkisi vardır. Buradaki tt herhangi bir açıdır; çeyrek turla ilişkilenen iki noktanın yatay ve düşey koordinatları yer değiştirir. Dolayısıyla:

sin⁡(a+b)=cos⁡((π/2−a)−b).\sin(a+b)=\cos\bigl((\pi/2-a)-b\bigr).

Sağa az önce kanıtladığımız kosinüs fark bağıntısını uygularsak cos⁡(π/2−a)cos⁡b+sin⁡(π/2−a)sin⁡b\cos(\pi/2-a)\cos b+\sin(\pi/2-a)\sin b çıkar. İlk çeyrek tur ilişkisi sin⁡a\sin a, ikincisi cos⁡a\cos a olduğundan:

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b.\boxed{\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.}

Burada da bb yerine −b-b yazınca:

sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\boxed{\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.}

Bu dört bağıntıyı işaretleriyle birlikte okumak gerekir. Kosinüs toplamında eksi, kosinüs farkında artı vardır. Sinüste ise açıların arasındaki işaret iki çarpımın arasında korunur. İşaretleri ezberlerken tereddüt edersek, a=ba=b seçerek küçük bir kontrol yapabiliriz: kosinüs farkı 1 vermeli, sinüs farkı 0 olmalıdır.

Bilinen açılardan yeni bir değer

75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ olduğuna göre:

sin⁡75∘=2232+2212=6+24.\sin75^\circ =\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

Bu yaklaşık 0,9660{,}966‘dır ve beklediğimiz gibi 1’den küçüktür. Kosinüste aynı iki çarpımı çıkarırız:

cos⁡75∘=6−24≈0,259.\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259.

Tam değer köklü ifadedir; ondalık sayı yuvarlanmış bir yaklaşımdır. Ayrıca 75∘75^\circ birinci bölgede bulunduğu için hem sinüs hem kosinüs pozitif çıkmalıdır. İşaret kontrolü, uzun bir işlemin sonunda basit ama etkili bir denetim sağlar.

30 derecelik dönüşe 45 derece eklenince 75 dereceye ulaşılır. Yeni noktanın yatay ve düşey koordinatları birlikte değişir.

Tanjant toplamı hangi koşullarda kullanılır?

tan⁡(a+b)\tan(a+b) için sinüs toplamını kosinüs toplamına böleriz. Ardından pay ve paydayı cos⁡acos⁡b\cos a\cos b ile bölersek:

tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b.\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.

Bu yazım için cos⁡a\cos a ve cos⁡b\cos b sıfır olmamalıdır. Son payda da sıfır olamaz; bu koşul toplam açının tanjantının tanımlı olmasını sağlar. Örneğin a=b=45∘a=b=45^\circ seçildiğinde payda 1−1=01-1=0 olur. Bu bir hesap kazası değildir: toplam 90∘90^\circ‘dir ve tanjantı tanımsızdır.

Fark formülünde benzer biçimde tan⁡(a−b)=(tan⁡a−tan⁡b)/(1+tan⁡atan⁡b)\tan(a-b)=(\tan a-\tan b)/(1+\tan a\tan b) elde edilir. Yine iki ayrı tanjantın ve son bölümün tanımlı olması gerekir. Sinüs ve kosinüs toplamları bu ek bölme kısıtlarına ihtiyaç duymaz.

4. İki Kat Açı Yeni Bir Konu Değil

Toplam bağıntılarında iki açıyı eşit seçelim: b=ab=a. Böylece:

sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin2a=2\sin a\cos a

ve

cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a\cos2a=\cos^2a-\sin^2a

çıkar. İlk formülde aynı çarpım iki kez toplanır. İkincide iki farklı kare çıkarılır. Bu nedenle genel olarak sin⁡2a=2sin⁡a\sin2a=2\sin a diyemeyiz; sağ tarafta bir de cos⁡a\cos a çarpanı bulunmalıdır.

sin⁡2a+cos⁡2a=1\sin^2a+\cos^2a=1 ilişkisini kullanarak kosinüs formülünü iki başka biçimde yazabiliriz:

cos⁡2a=1−2sin⁡2a=2cos⁡2a−1.\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.

Örneğin sin⁡2a=(1−cos⁡2a)/2\sin^2a=(1-\cos2a)/2 ifadesi, aynı eşitliği sinüsün karesi için çözmektir. Yeni bir ezber gerektirmez: önce 2sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2a=1-\cos2a, sonra ikiye bölme gelir.

Birinci bölgede sin⁡a=3/5\sin a=3/5 verilsin. Önce cos⁡2a=1−9/25=16/25\cos^2a=1-9/25=16/25 buluruz. Bölge kosinüsün pozitif olduğunu söylediği için cos⁡a=4/5\cos a=4/5 seçeriz. Ardından sin⁡2a=2(3/5)(4/5)=24/25\sin2a=2(3/5)(4/5)=24/25 ve cos⁡2a=16/25−9/25=7/25\cos2a=16/25-9/25=7/25 çıkar. İki değerin kareleri toplamı (576+49)/625=1(576+49)/625=1 olduğundan çember koşulu da sağlanır.

5. Yarım Açıda İşareti Kim Belirler?

İki kat açı bağıntısında aa yerine x/2x/2 yazarsak:

sin⁡2(x/2)=1−cos⁡x2,cos⁡2(x/2)=1+cos⁡x2.\sin^2(x/2)=\frac{1-\cos x}{2}, \qquad \cos^2(x/2)=\frac{1+\cos x}{2}.

Karelerden fonksiyon değerlerine geçerken işaret bilgisi gerekir:

sin⁡(x/2)=±1−cos⁡x2,\sin(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}, cos⁡(x/2)=±1+cos⁡x2.\cos(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.

Buradaki artı-eksi, sinüs veya kosinüsün aynı anda iki değer aldığı anlamına gelmez. Verilen açı için tek doğru işaret vardır; onu yarım açının bulunduğu bölge belirler. Karekök sembolü kendi başına sıfır veya pozitif değeri verdiğinden, negatif değer gerekiyorsa dışarıya eksi yazılır.

Örneğin x=240∘x=240^\circ olsun. x/2=120∘x/2=120^\circ ikinci bölgededir: sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. cos⁡240∘=−1/2\cos240^\circ=-1/2 olduğundan:

sin⁡120∘=+1+1/22=34=32,\sin120^\circ=+\sqrt{\frac{1+1/2}{2}} =\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}, cos⁡120∘=−1−1/22=−14=−12.\cos120^\circ=-\sqrt{\frac{1-1/2}{2}} =-\sqrt{\frac14}=-\frac12.

İşareti 240∘240^\circ‘nin bölgesine göre seçmek yanlış olurdu. Formülde aradığımız değerler 120∘120^\circ‘ye aittir. Aynı şekilde, yalnızca cos⁡x\cos x verilmesi yarım açıların işaretlerini her zaman belirlemeye yetmez; açının aralığı da gerekebilir.

6. Bir Denklemde Bütün Açıları Bulmak

sin⁡x=1/2\sin x=1/2 denklemini birim çemberde düşünelim. Sinüs düşey koordinattı. Yüksekliği 1/21/2 olan yatay çizgi, çemberi bir tur içinde iki noktada keser: π/6\pi/6 ve 5π/65\pi/6.

Sinüsü bir bölü iki olan iki nokta aynı yatay çizgi üzerinde yer alır.

Tam tur eklemek aynı noktaya döndürdüğünden bütün gerçek çözümler:

x=π6+2kπveyax=5π6+2kπ,k∈Z.x=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{veya}\quad x=\frac{5\pi}6+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.

Z\mathbb Z tam sayılar kümesidir; kk sıfır, pozitif veya negatif herhangi bir tam sayı olabilir. Böylece ileri ve geri yöndeki bütün turları tek bir yazımda kapsarız. Soruda yalnızca 0≤x<2π0\le x<2\pi isteniyorsa iki temel açıyı alırız. Genel çözüm ile belirli aralıktaki çözüm aynı şey değildir.

cos⁡x=−2/2\cos x=-\sqrt2/2 için yatay koordinat negatiftir. Bir tur içindeki açılar 3π/43\pi/4 ve 5π/45\pi/4 olur; ikisine de 2kπ2k\pi eklenir. tan⁡x=1\tan x=1 içinse birinci ve üçüncü bölgedeki açılar aynı oranı verir. Tanjantın periyodu π\pi olduğundan bütün çözümler x=π/4+kπx=\pi/4+k\pi biçiminde tek ailede yazılabilir.

Sinüs veya kosinüs için istenen değer [−1,1][-1,1] aralığının dışındaysa gerçek çözüm yoktur. sin⁡x=1,2\sin x=1{,}2 denklemi, çember üzerinde bulunmayan bir yüksekliği ister. Denklem çözümüne başlamadan değer aralığını kontrol etmek gereksiz işlemleri engeller.

İçeride farklı bir açı varsa

sin⁡(2x)=1/2\sin(2x)=1/2 denkleminde birim çemberin açısı doğrudan xx değil, 2x2x‘tir. Önce:

2x=π6+2kπveya2x=5π6+2kπ2x=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{veya}\quad 2x=\frac{5\pi}6+2k\pi

yazarız. İkiye bölerken yalnızca ilk terimi değil, bütün sağ tarafı böleriz:

x=π12+kπveyax=5π12+kπ.x=\frac\pi{12}+k\pi \quad\text{veya}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi.

0≤x<2π0\le x<2\pi aralığında k=0k=0 ve k=1k=1 uygundur. Sonuçlar π/12\pi/12, 5π/125\pi/12, 13π/1213\pi/12 ve 17π/1217\pi/12 olur. İçerideki açı iki kat hızlı ilerlediği için, aynı xx aralığında daha çok çözümle karşılaşırız.

7. Bölme Yaparken Bir Çözümü Kaybetmemek

Şimdi sin⁡2x=sin⁡x\sin2x=\sin x denklemini çözelim. İki kat açı bağıntısıyla:

2sin⁡xcos⁡x=sin⁡x.2\sin x\cos x=\sin x.

Burada iki tarafı hemen sin⁡x\sin x‘e bölmek cazip görünebilir. Fakat sin⁡x=0\sin x=0 olabilirse sıfıra bölmüş oluruz; üstelik bu açılar ilk denklemi sağlar. Güvenli yol bütün terimleri bir tarafa taşıyıp çarpanlara ayırmaktır:

sin⁡x(2cos⁡x−1)=0.\sin x(2\cos x-1)=0.

Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır. İki durum elde ederiz: sin⁡x=0\sin x=0 veya cos⁡x=1/2\cos x=1/2. Birincisi x=kπx=k\pi verir. İkincisi x=π/3+2kπx=\pi/3+2k\pi veya x=5π/3+2kπx=5\pi/3+2k\pi verir.

0≤x<2π0\le x<2\pi aralığında çözümler 00, π/3\pi/3, π\pi ve 5π/35\pi/3 olur. Başta sinüse bölseydik 00 ile π\pi‘yi kaybederdik. Bölme adımı yanlış cebir yapıldığı için değil, bölenin sıfır olabileceği durumu dışladığı için sorun çıkarır.

Kare alma işlemi ters yönde tehlike taşır: çözüm kaybetmek yerine yeni adaylar ekleyebilir. Örneğin sin⁡x=−1/2\sin x=-1/2 denkleminin karesini alınca sin⁡2x=1/4\sin^2x=1/4 olur. Son denklem sin⁡x=+1/2\sin x=+1/2 olan açıları da kabul eder. Bu yüzden adayları başlangıç denkleminde doğrulamak gerekir. Aynı dikkat köklü ve paydalı cebirsel denklemlerde de geçerliydi.

8. Aralığı ve Birimi Sonuca Taşımak

Bir denklemde açı birimi, yalnızca yazının süsü değildir. sin⁡x=1/2\sin x=1/2 için dereceyle genel çözüm x=30∘+360∘kx=30^\circ+360^\circ k veya x=150∘+360∘kx=150^\circ+360^\circ k olur. Radyanla yazdığımız iki aile bunlarla aynı dönüşleri anlatır. Ancak 30+2kπ30+2k\pi gibi bir yazım, 30’u derece sanıp turu radyanla eklersek iki farklı ölçüyü karıştırır. Başlangıçta hangi birimi seçtiysek bütün işlem boyunca onu koruruz.

Hesap makinesinde de aynı dikkat gerekir. Derece modunda girilen 30 ile radyan modunda girilen 30, çemberde çok farklı dönüşlerdir. Yaklaşık sonuç beklenen bölgede görünmüyorsa önce işlem sırasını ve birim ayarını kontrol ederiz. Sayısal bir sonuç, yalnızca ekranda çıktığı için matematiksel koşulları sağlamış sayılmaz.

Aralık uçlarına da ayrı bakmalıyız. sin⁡x=0\sin x=0 denklemini [0,2π][0,2\pi] kapalı aralığında çözersek 00, π\pi ve 2π2\pi vardır. [0,2π)[0,2\pi) yarı açık aralığında sonuncusu yoktur. Çember üzerinde 00 ile 2π2\pi aynı noktaya karşılık gelir; fakat denklemde farklı gerçek sayılardır. Sorunun değişkeni çember noktası değil açı ölçüsü olduğunda ikisini ayrı çözüm olarak sayabiliriz.

Birden fazla dönüşüm içeren örnekte bu disiplin daha görünür olur. cos⁡(3x−π/2)=0\cos(3x-\pi/2)=0 denklemini düşünelim. Kosinüsün sıfır olduğu açılar π/2+kπ\pi/2+k\pi biçimindedir. Önce içerdeki ifadenin tamamını bu açıya eşitleriz:

3x−π2=π2+kπ.3x-\frac\pi2=\frac\pi2+k\pi.

İki tarafa π/2\pi/2 ekleyince 3x=π+kπ3x=\pi+k\pi olur. Üçe bölersek x=π/3+kπ/3x=\pi/3+k\pi/3 elde edilir. kk bütün tam sayıları dolaştığı için bunu x=mπ/3x=m\pi/3, m∈Zm\in\mathbb Z biçiminde de yazabiliriz: yeni tam sayı m=k+1m=k+1‘dir. İki farklı görünüş, aynı çözüm kümesini temsil eder.

0≤x<2π0\le x<2\pi koşulu verilseydi, m=0,1,2,3,4,5m=0,1,2,3,4,5 seçilirdi. Altı çözüm elde etmemizin sebebi, içerideki 3x3x açısının üç tam tur taramasıdır. Bunlardan x=0x=0‘ı başlangıçta denetlersek cos⁡(−π/2)=0\cos(-\pi/2)=0 buluruz. Böyle bir kontrol, genel çözümü yeniden adlandırırken bir başlangıç değerini yanlışlıkla dışarıda bırakmadığımızı gösterir.

9. Özdeşliği Kullanmak ile Kanıtlamak

cos⁡x≠0\cos x\ne0 koşulunda şu ifadeyi sadeleştirelim:

1−sin⁡2xcos⁡x.\frac{1-\sin^2x}{\cos x}.

Pay, temel özdeşlik gereği cos⁡2x\cos^2x‘tir. Böylece bölüm cos⁡x\cos x olur. Ancak ilk ifadenin tanımından gelen cos⁡x≠0\cos x\ne0 koşulu kaybolmaz. Sadeleşmiş ifade daha çok noktada tanımlı olsa bile, iki ifadenin eşitliğini yalnızca ilk ifadenin tanımlı olduğu yerlerde söylüyoruz.

Bir özdeşliği birkaç açı için denemek kontrol sağlar ama ispat değildir. Yukarıdaki dönüşüm ise payı bütün izin verilen açılarda eşit bir ifadeyle değiştirdiği, sonra sıfırdan farklı ortak çarpanı sadeleştirdiği için geneldir. Her adımda “Bu eşitliği hangi bilgiyle yazdım?” sorusuna cevap verebiliriz.

Bu yazıda çemberdeki konumları birbirine bağlayan kuralları kurduk. Sonraki adım, bu kurallarla bir üçgenin eksik kenarlarını ve açılarını bulmak olacak. Bunun için ayrıca, sinüs veya kosinüs değeri verildiğinde bir açının nasıl seçildiğini ve neden bazen iki farklı üçgenin aynı verilere uyduğunu açıklayacağız.

Kaynakça

Anlatım, çözümlü örneklerin düzeni ve şekiller özgün hazırlanmıştır. Aşağıdaki açık ders kitabı sayfaları 8 Ekim 2026 tarihinde doğrudan kontrol edilmiştir; tanım koşulları ve bağıntıların kapsamı için başvuru niteliğindedir.