Logo

Alan Olmayan Yolda Faz: Aharonov–Bohm Etkisi

emre argana emre argana
20 Ekim 2026
Okuma süresi: 14 dakika
physics quantum foundations
index

Elektron demetini iki kola ayırıp bir mıknatısın iki yanından geçirelim. Mıknatısın alanını elektronların erişemediği ince bir bölgede hapsedebilirsek, elektronun yürüdüğü yollar boyunca manyetik alan sıfır olabilir. Buna rağmen kollar yeniden birleştirildiğinde girişim deseni içerideki manyetik akıya bağlı olur. Aharonov–Bohm etkisinin sorusu budur: yerel manyetik kuvvetin bulunmadığı yolların göreli kuantum fazı nasıl değişir?

Ön bilgilerimiz karmaşık sayılar ve faz, kuantum durumu ve Born kuralı ile Schrödinger denklemi ve olasılık akımı. Klasik Hamilton mekaniği kanonik momentumun neden mekanik momentumla aynı olmayabileceğini açıklar. Alan, akı ve potansiyel arasındaki gerekli ilişkileri burada yeniden kuracağız; sonraki Hall veya süperiletkenlik yazılarını önkoşul yapmıyoruz.

1. Bir fazın hangi kısmı ölçülebilir?

Normalize bir durumun tüm bileşenlerini aynı eiαe^{i\alpha} karmaşık sayısıyla çarparsak ölçüm olasılıkları değişmez; çünkü bu sayının mutlak değer karesi birdir. Burada α\alpha gerçek bir açı, ii karesi eksi bir olan sayıdır. Buna ortak veya global faz deriz. Ancak iki farklı yolun genliklerinden yalnız birine faz eklemek ortak faz işlemi değildir. Kollar birleştiğinde karmaşık sayılar önce toplanır, mutlak değer karesi sonra alınır.

Bunu küçük bir cebirle görelim. İki katkı aa ve beiδbe^{i\delta} ise

∣a+beiδ∣2=∣a∣2+∣b∣2+a∗beiδ+ab∗e−iδ.|a+be^{i\delta}|^2 =|a|^2+|b|^2+a^*be^{i\delta}+ab^*e^{-i\delta}.

Son iki terim birbirinin eşleniğidir ve toplamları gerçektir. a,ba,b pozitif gerçek seçilebildiğinde bu toplam 2abcos⁡δ2ab\cos\delta olur. Faz farkı, her kolun tek başına yoğunluğu değişmese de birleşimdeki olasılığı değiştirir. Bu nedenle tek kola bakarak görülmeyen bir etki girişimde ortaya çıkabilir.

Burada koherens gereklidir: yolların göreli fazı denemeden denemeye kontrolsüz biçimde dağılmamalıdır. Hangi yoldan geçildiğini çevreye kaydeden bir etkileşim girişimi azaltabilir. Yolların uzunluğunun eşit olması, tek başına koherens garantisi değildir; zamanlama, enerji dağılımı ve çevresel kayıtlar da önemlidir.

2. Manyetik alan, akı ve vektör potansiyeli

Manyetik alan vektörünü B\mathbf B, vektör potansiyelini A\mathbf A ile göstereceğiz. SI birimlerinde

B=∇×A,E=−∇ϕ−∂tA\mathbf B=\nabla\times\mathbf A, \qquad \mathbf E=-\nabla\phi-\partial_t\mathbf A

ilişkileri vardır. ϕ\phi elektrik skaler potansiyeli, ∇\nabla uzay türevlerini içeren operatördür. Rotasyonel, bir vektör alanının küçük kapalı çevrim etrafındaki dolaşımını ölçer. A\mathbf A‘nın birimi tesla metre, ϕ\phi‘nin birimi volttur. Bunlar farklı büyüklüklerdir; ikisine yalnız “potansiyel” deyip aynı işlevi yüklemeyeceğiz.

Yönü seçilmiş bir SS yüzeyinden geçen manyetik akı

Φ=∫SB⋅dS\Phi=\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S

olarak tanımlanır. Birimi weber, yani tesla metrekaredir. Yüzeyin normal yönünü ters çevirirsek akının işareti değişir. Stokes teoremi düzgün bir potansiyel alanı için

∮∂SA⋅dl=Φ\oint_{\partial S}\mathbf A\cdot d\mathbf l=\Phi

der. Çevrimin yönü ile yüzey normali sağ el kuralıyla eşleştirilir. Böylece işaretler keyfî biçimde bağımsız seçilemez. Faz hesabında hem parçacık yükünün işaretini hem bu dolaşım yönünü saklayacağız.

3. Yüklü parçacığın Hamiltonyeni

Parçacığın kütlesi MM, elektrik yükü qq olsun. Elektron için q=−eq=-e ve ee pozitif temel yük büyüklüğüdür. Kanonik momentum operatörü p=−iℏ∇\mathbf p=-i\hbar\nabla olduğunda minimal bağlaşım kuralı

Π=p−qA,H=Π22M+qϕ\boldsymbol\Pi=\mathbf p-q\mathbf A, \qquad H=\frac{\boldsymbol\Pi^2}{2M}+q\phi

verir. Π\boldsymbol\Pi mekanik momentumdur. qAq\mathbf A momentum birimi taşır; aynı toplamda bulunan terimlerin birimleri bu nedenle uyumludur. Spinle doğrudan alan bağlaşımını bu girişte ihmal ediyoruz. Elektron yollarında alan sıfır olan ideal düzenek, bu sadeleştirme için ayrıca uygundur.

Kareyi açarken dikkat gerekir: p\mathbf p bir türev operatörüdür, A\mathbf A ise konuma bağlı olabilir. Bu yüzden

(p−qA)2=p2−q(p⋅A+A⋅p)+q2A2(\mathbf p-q\mathbf A)^2 =\mathbf p^2-q(\mathbf p\cdot\mathbf A+\mathbf A\cdot\mathbf p)+q^2\mathbf A^2

bir operatör eşitliğidir; ortadaki iki terim gerekçe olmadan 2A⋅p2\mathbf A\cdot\mathbf p yapılamaz. Bu yazıda kareyi bu biçimde açmak yerine kovaryant momentumun dönüşümünü doğrudan kontrol edeceğiz. Böylece türevin hangi fonksiyona etki ettiği görünür kalır.

4. Ayar dönüşümü fiziksel alanları değiştirmez

Düzgün, gerçek bir χ(r,t)\chi(\mathbf r,t) fonksiyonu seçelim ve

A′=A+∇χ,ϕ′=ϕ−∂tχ\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\chi, \qquad \phi'=\phi-\partial_t\chi

diyelim. Bir gradyanın rotasyoneli sıfır olduğu için B′=B\mathbf B'=\mathbf B olur. Elektrik alanında ise iki ek terim birbirini götürür:

E′=−∇(ϕ−∂tχ)−∂t(A+∇χ)=−∇ϕ−∂tA+∇∂tχ−∂t∇χ=E.\begin{aligned} \mathbf E'&=-\nabla(\phi-\partial_t\chi) -\partial_t(\mathbf A+\nabla\chi)\\ &=-\nabla\phi-\partial_t\mathbf A +\nabla\partial_t\chi-\partial_t\nabla\chi\\ &=\mathbf E. \end{aligned}

Son satır için uzay ve zaman türevlerinin yer değiştirebilecek kadar düzgün olduğunu kullandık. Aynı alanları veren bu gösterim değişimine ayar dönüşümü diyoruz. Fiziksel olarak farklı bir mıknatıs üretmedik; alanların potansiyellerle yazılışını değiştirdik.

Kuantum durumu da birlikte dönüşmelidir:

ψ′=eiqχ/ℏψ.\psi'=e^{iq\chi/\hbar}\psi.

Üstelin boyutsuz olması için qχq\chi etki birimindedir. Konuma bağlı bir fazı ekleyip Hamiltonyeni olduğu gibi bırakırsak genellikle başka bir fiziksel durum elde ederiz. Ayar dönüşümü, durumun ve potansiyellerin birlikte değiştirildiği işlemdir; bu iki uygulamayı karıştırmak yanlış sonuç verir.

5. Türevdeki ek fazın açık iptali

U=eiqχ/ℏU=e^{iq\chi/\hbar} kısaltmasını kullanalım. Çarpım kuralı

∇(Uψ)=U∇ψ+iqℏ(∇χ)Uψ\nabla(U\psi)=U\nabla\psi+\frac{iq}{\hbar}(\nabla\chi)U\psi

verir. −iℏ-i\hbar ile çarpıldığında ikinci terimin katsayısı (−i)(i)q=q(-i)(i)q=q olur. Dolayısıyla

(−iℏ∇−qA′)ψ′=U[−iℏ∇ψ+q∇χ ψ−q(A+∇χ)ψ]=U(−iℏ∇−qA)ψ.\begin{aligned} (-i\hbar\nabla-q\mathbf A')\psi' &=U\left[-i\hbar\nabla\psi+q\nabla\chi\,\psi -q(\mathbf A+\nabla\chi)\psi\right]\\ &=U(-i\hbar\nabla-q\mathbf A)\psi. \end{aligned}

Ek gradyan terimleri tam olarak silindi. Bu özelliğe kovaryant dönüşüm denir: sonuç aynı faz çarpanıyla dönüşür. İşlem her bileşen için geçerli olduğu için karesine de uygulanır; Π′2ψ′=UΠ2ψ\boldsymbol\Pi'^2\psi'=U\boldsymbol\Pi^2\psi olur.

Zaman türevini de atlamayalım:

iℏ∂tψ′=U(iℏ∂tψ−q∂tχ ψ),H′ψ′=U(Hψ−q∂tχ ψ).\begin{aligned} i\hbar\partial_t\psi' &=U(i\hbar\partial_t\psi-q\partial_t\chi\,\psi),\\ H'\psi' &=U(H\psi-q\partial_t\chi\,\psi). \end{aligned}

Başlangıçtaki Schrödinger denklemi doğruysa iki yeni ifade de eşittir. Yoğunluk ∣ψ′∣2=∣ψ∣2|\psi'|^2=|\psi|^2 ve mekanik momentuma dayanan olasılık akımı da değişmez. Böylece “potansiyel Hamiltonyende göründü, o halde potansiyelin her değeri ölçülebilir” çıkarımının neden doğru olmadığını doğrudan hesapladık. Ölçülebilir olan ayar seçiminden bağımsız bileşimlerdir.

6. Alanın sıfır olduğu bir bölgede faz biriktirmek

Zamandan bağımsız bir deney ve yollar boyunca elektrik potansiyeli sıfır olsun. Küçük, delik içermeyen bir bölgede B=0\mathbf B=0 ise A=∇χ\mathbf A=\nabla\chi yazılabilir. Potansiyelsiz çözüm ψ0\psi_0 biliniyorsa bir önceki dönüşüm hesabından

ψ=eiqχ/ℏψ0\psi=e^{iq\chi/\hbar}\psi_0

çözümünü elde ederiz. PP başlangıç, QQ bitiş noktası olmak üzere aynı yerel dal boyunca

χ(Q)−χ(P)=∫PQA⋅dl\chi(Q)-\chi(P)=\int_P^Q\mathbf A\cdot d\mathbf l

olduğundan ek faz q/ℏq/\hbar çarpı bu çizgi integralidir. Her kısa parça için yazılıp parçalar birleştirildiğinde açık yolun manyetik faz katkısı aynı integral biçiminde birikir.

Bu açık yol katkısı tek başına ayardan bağımsız değildir. A\mathbf A‘ya ∇χ\nabla\chi eklenirse çizgi integrali χ(Q)−χ(P)\chi(Q)-\chi(P) kadar değişir. Ancak iki yol aynı başlangıç ve bitişe sahipse iki ek uç terimi çıkarma sırasında iptal olur. Deneyin ölçtüğü nicelik bu farktır. Zamanla değişen alanlarda skaler potansiyelin katkısı da vardır; genel yol fazındaki elektromanyetik terim q∫(A⋅dr−ϕ dt)/ℏq\int(\mathbf A\cdot d\mathbf r-\phi\,dt)/\hbar olur. Aşağıdaki statik düzende yalnız manyetik kısım gerekir.

7. İki yolun farkından kapalı çevrime

C1C_1 ve C2C_2 yollarının ikisini de PP‘den QQ‘ya doğru tanımlayalım. Yol birin fazından yol ikinin fazını çıkarınca

δAB=qℏ(∫C1A⋅dl−∫C2A⋅dl)=qℏ∮CA⋅dl=qΦℏ.\begin{aligned} \delta_{\rm AB} &=\frac q\hbar\left(\int_{C_1}\mathbf A\cdot d\mathbf l -\int_{C_2}\mathbf A\cdot d\mathbf l\right)\\ &=\frac q\hbar\oint_C\mathbf A\cdot d\mathbf l =\frac{q\Phi}{\hbar}. \end{aligned}

Burada kapalı CC çevrimi, C1C_1‘i ileri ve C2C_2‘yi geri izler. Φ\Phi bu çevrimin yönüne göre işaretli akıdır. Elektron için δAB=−eΦ/ℏ\delta_{\rm AB}=-e\Phi/\hbar olur. Yolları yer değiştirirsek veya alanın yönünü ters çevirirsek fazın işareti değişir. Sadece simetrik bir çıkıştaki kosinüse bakmak bu işareti gizleyebilir; kaydırılmış referans fazıyla işaret ölçülebilir.

İki koherent yolun erişilmeyen akı tüpünün iki yanından geçip yeniden birleşmesi ve kapalı çevrimin yönü.

Solenoidin taralı içi elektronlara kapalıdır. Mavi kol ileri, turuncu kolun tersi geri izlendiğinde kapalı çevrim oluşur. Akı yüzeyden geçer; parçacık yollarındaki ideal manyetik alan sıfırdır.

Yol boyunca kinetik enerjiler veya uzunluklar farklıysa ayrıca bir referans fazı δ0\delta_0 bulunur. Toplam gözlenen fark δ=δ0+δAB\delta=\delta_0+\delta_{\rm AB}‘dir. Manyetik akının etkisini ayırmak için diğer koşulları sabit tutup akı değişimine bakarız. Geometrik yol farkını yok sayıp tüm fazı otomatik olarak AB etkisine atfetmeyiz.

8. Solenoid dışında alan sıfırken integral neden sıfır değil?

İdeal, uzun bir solenoidin yarıçapı RR, toplam akısı Φ\Phi olsun. Dışarıda r>Rr>R için silindirik yönde

A(r)=Φ2πr φ^\mathbf A(r)=\frac{\Phi}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\varphi}

seçilebilir. Dış bölgedeki rotasyonelin eksen bileşeni

Bz=1rddr(rAφ)=1rddr(Φ2π)=0B_z=\frac1r\frac d{dr}(rA_\varphi) =\frac1r\frac d{dr}\left(\frac\Phi{2\pi}\right)=0

olur. Buna karşılık yarıçapı rr olan bir çemberde dl=r dφ φ^d\mathbf l=r\,d\varphi\,\hat{\boldsymbol\varphi} olduğundan

∮A⋅dl=∫02πΦ2πrr dφ=Φ2π(2π)=Φ.\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l =\int_0^{2\pi}\frac\Phi{2\pi r}r\,d\varphi =\frac\Phi{2\pi}(2\pi)=\Phi.

Stokes teoremiyle çelişki yoktur. Çemberin gerdiği disk, solenoidin içinden de geçer; diskin her noktasında alan sıfır değildir. Alanın yalnız çevrim üzerinde sıfır olduğunu bilmek yüzey integralini sıfırlamaz. Solenoid dışındaki erişilebilir bölge ise deliklidir: onu saran çemberi deliğe girmeden bir noktaya büzemeyiz.

Yerel olarak χ=Φφ/(2π)\chi=\Phi\varphi/(2\pi) seçersek A=∇χ\mathbf A=\nabla\chi olur. Fakat φ\varphi bir turda 2π2\pi artar; aynı fiziksel noktada χ\chi değeri Φ\Phi kadar farklı çıkar. Bu fonksiyon tüm dış bölgede tek değerli bir ayar fonksiyonu değildir. Faz çarpanı özel akılarda tek değerli olabilir; genel akıda çok değerli bir dönüşümü izinli sayıp etkiyi silmek sınır koşulunu değiştirmiş olur.

9. Normalize girişim olasılığını kuralım

İki dengeli, ideal demet ayırıcı düşünelim. İlk ayırıcıdan sonra yol durumu (∣1⟩+∣2⟩)/2(|1\rangle+|2\rangle)/\sqrt2 olsun. Yol fazları α1,α2\alpha_1,\alpha_2 eklenir. İkinci ayırıcıyı

∣1⟩⟼∣+⟩+∣−⟩2,∣2⟩⟼∣+⟩−∣−⟩2|1\rangle\longmapsto\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2}, \qquad |2\rangle\longmapsto\frac{|+\rangle-|-\rangle}{\sqrt2}

olarak tanımlayalım. Bunlar cihazın seçtiğimiz faz konvansiyonlarıdır. Çıkış genlikleri

a+=eiα1+eiα22,a−=eiα1−eiα22a_+=\frac{e^{i\alpha_1}+e^{i\alpha_2}}2, \qquad a_-=\frac{e^{i\alpha_1}-e^{i\alpha_2}}2

olur. Paydadaki iki, iki ayrı 2\sqrt2 normalizasyonunun çarpımıdır. Mutlak değer karesi alırsak

P+=1+cos⁡δ2,P−=1−cos⁡δ2,δ=α1−α2.P_+=\frac{1+\cos\delta}{2}, \qquad P_-=\frac{1-\cos\delta}{2}, \qquad\delta=\alpha_1-\alpha_2.

Toplamları her fazda birdir ve her biri sıfır ile bir arasındadır. Tek bir ekrandaki iki yarık yoğunluğunu bu iki çıkış formülüyle özdeşleştirmiyoruz; orada konuma bağlı yayılma zarfları ayrıca gerekir. İki çıkışlı ideal düzenek, normalize olasılığı açıkça hesaplamak için seçildi.

10. Örnek 1: Yarım akı kuantumunda tam çıkış değişimi

Elektron için akı periyodunun pozitif büyüklüğünü

Φ0=he=2πℏe≈4.135667697×10−15 Wb\Phi_0=\frac he=\frac{2\pi\hbar}{e} \approx4.135667697\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}

olarak tanımlayalım. Referans fazı δ0=0\delta_0=0 ve işaretli akı Φ=Φ0/2\Phi=\Phi_0/2 olsun. Birim dönüşümüyle akı yaklaşık 2.067833848×10−15 Wb2.067833848\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}‘dir. Faz

δ=−eℏh2e=−π\delta=-\frac e\hbar\frac h{2e}=-\pi

olur. Önce yükler sadeleşir, sonra h/ℏ=2πh/\hbar=2\pi kullanılır. cos⁡(−π)=−1\cos(-\pi)=-1 olduğundan P+=0P_+=0, P−=1P_-=1 bulunur. Sıfır akıda tüm parçacıkların gittiği artı çıkış karanlık olmuştur.

Fazın eksi olması olasılığın negatif olmasına yol açmaz. Olasılık karmaşık genliğin normundan hesaplanır; açının işareti ayrı bir bilgidir. Akı Φ0\Phi_0‘a çıkarılırsa faz −2π-2\pi olur ve çıkışlar başlangıç değerine döner. Bu periyot, akının yalnız tamsayı katlar alması gerektiğini söylemez; dışarıdan uygulanan akı sürekli değişebilir. Periyodik olan girişim sinyalidir.

11. Örnek 2: Çeyrek akı ve referans fazının rolü

Akı Φ0/4\Phi_0/4 olduğunda elektronun ek fazı −π/2-\pi/2‘dir. Referans sıfırken kosinüs sıfır olur:

P+=P−=12.P_+=P_-=\frac12.

Buna bakıp fazın artı mı eksi mi olduğunu belirleyemeyiz. Şimdi manyetik akıdan bağımsız bir yol ayarıyla δ0=π/3\delta_0=\pi/3 ekleyelim. Aynı pozitif akıda toplam fark

δ=π3−π2=−π6,P+=1+3/22≈0.933013\delta=\frac\pi3-\frac\pi2=-\frac\pi6, \qquad P_+=\frac{1+\sqrt3/2}{2}\approx0.933013

olur. Eksi çıkış yaklaşık 0.0669870.066987‘dir. Akının yönü ters çevrilirse δ=π/3+π/2=5π/6\delta=\pi/3+\pi/2=5\pi/6 ve P+≈0.066987P_+\approx0.066987 çıkar. Böylece aynı büyüklükteki ters yönlü akılar seçilmiş bir referansla ayırt edilebilir.

Bu sonuç, “fazın işareti önemsizdir” biçimindeki kısaltmanın neden sınırlı olduğunu gösterir. Referans sıfırken kosinüs çift fonksiyondur; fiziksel düzenek başka bir faz içerdiğinde bu simetri tek bir çıkışın akı bağımlılığında kalmayabilir. Bütün faz konvansiyonlarını birlikte değiştirmek yine aynı ölçüm sonucunu verir.

12. Örnek 3: Dengesiz yollar ve görünürlük

İlk ayırıcıdan sonra yol olasılıkları pp ve 1−p1-p olsun. Fazlardan önce genlikleri p\sqrt p ve 1−p\sqrt{1-p} seçelim. İkinci ayırıcı yine dengeliyse

P+=12[1+2p(1−p)cos⁡δ]P_+=\frac12\left[1+2\sqrt{p(1-p)}\cos\delta\right]

elde edilir. Bu eşitlik, iki genliğin toplamını önce 2\sqrt2 ile bölüp normunu alarak bulunur. Girişim görünürlüğü, en büyük ve en küçük sinyalin farkının toplamına oranı olarak

V=P+,max⁡−P+,min⁡P+,max⁡+P+,min⁡=2p(1−p)\mathcal V=\frac{P_{+,\max}-P_{+,\min}}{P_{+,\max}+P_{+,\min}} =2\sqrt{p(1-p)}

olur. p=0.8p=0.8 için çarpım 0.160.16, karekök 0.40.4, görünürlük 0.80.8‘dir. Sıfır toplam fazda P+=0.9P_+=0.9, yarım tur farkta P+=0.1P_+=0.1, çeyrek tur farkta P+=0.5P_+=0.5 bulunur. Tam karanlık oluşmaması tek başına faz kaybının kanıtı değildir; yol genlikleri zaten eşit olmayabilir.

Kontrol için p=1/2p=1/2 konulduğunda görünürlük bir ve önceki formül geri gelir. pp bire yaklaşırsa tek yol kalır, görünürlük sıfıra iner; akıya bağlı göreli fazı karşılaştıracak ikinci katkı bulunmaz. Koherens kaybı da görünürlüğü azaltabilir fakat bunun dengesizlikten ayrı deneysel olarak incelenmesi gerekir.

13. Kuvvet, sızıntı alanı ve akı kuantumunun yükü

İdeal statik düzende parçacıkların eriştiği yerde E=B=0\mathbf E=\mathbf B=0 ise klasik Lorentz kuvveti q(E+u×B)q(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B) sıfırdır; u\mathbf u parçacık hızıdır. AB fazı bu yollara gizli bir yerel manyetik kuvvet eklediğimiz anlamına gelmez. Her ayrık kolun yoğunluğu salt faz çarpımından değişmez; değişiklik kolların yeniden birleşmesinde görünür. Toplam düzenek, kaynaklar ve sınır koşulları kuantum karşılaştırmasının bir parçasıdır.

Gerçek solenoid sonlu uzunlukta olabilir, alan sızabilir veya elektriksel potansiyel farkı oluşabilir. Bunlar parçacığı yerel olarak saptırıp ek dinamik faz oluşturabilir. Deneyde sızıntı alanı, elektrostatik fark, mekanik yol değişimi ve koherens kontrol edilmelidir. Bu gereklilik, ideal teorinin içindeki sıfır alan varsayımı ile bir laboratuvar aygıtının ölçülen özelliklerini ayırır. Zamanla akı değiştirilirse indüklenen elektrik alanı da hesaba katılmalıdır; statik formülü bu sırada tek başına kullanmayız.

Son olarak h/eh/e ile sık karşılaşılan h/(2e)h/(2e) farklı yük ölçekleridir. Burada tek elektronun yük büyüklüğü ee olduğu için periyot h/eh/e çıktı. Yük büyüklüğü 2e2e olan koherent çiftlerin fazı için aynı 2π2\pi koşulu h/(2e)h/(2e) verir. Bu ifade, tek elektronun yükünün yarıya düştüğünü söylemez. Hangi taşıyıcının fazını karşılaştırdığımızı belirtmeden yalnız “akı kuantumu” demek iki farklı fiziksel durumu karıştırır.

14. Akıya duyarlı halka: ayrı bir ölçüm örneği

Girişim düzeni dışında bir kontrol yapmak için parçacığı yarıçapı r0r_0 olan ince bir halkada tutalım. Halka yalnız bir boyutlu açısal koordinata izin versin; merkezindeki akı tüpüne parçacık erişemesin. Tüpün dışında yine manyetik alan sıfırdır. Teğetsel potansiyel Aφ=Φ/(2πr0)A_\varphi=\Phi/(2\pi r_0), kanonik teğetsel momentum ise −iℏ∂φ/r0-i\hbar\partial_\varphi/r_0 olur. Karesini alıp kinetik enerjiye yerleştirince

H=12Mr02(−iℏ∂φ−qΦ2π)2H=\frac1{2Mr_0^2}\left(-i\hbar\partial_\varphi-\frac{q\Phi}{2\pi}\right)^2

elde ederiz. Halka geometrisini seçtiğimiz için radyal hareket enerjisini bu etkin modelin dışında tuttuk. Bu kısıtlama olmadan iki boyutlu serbest parçacığın bütün Hamiltonyeni yalnız bu açısal ifadeden ibaret olmazdı.

Dalga fonksiyonunun aynı fiziksel noktada tek değerli olması ψ(φ+2π)=ψ(φ)\psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi) koşulunu verir. Normalize baz fonksiyonları ψℓ=eiℓφ/2π\psi_\ell=e^{i\ell\varphi}/\sqrt{2\pi} ve ℓ\ell bir tamsayıdır; normalizasyon burada açısal ölçüye göredir. Türev ∂φψℓ=iℓψℓ\partial_\varphi\psi_\ell=i\ell\psi_\ell verdiğinden

Eℓ(Φ)=ℏ22Mr02(ℓ−qΦh)2E_\ell(\Phi)=\frac{\hbar^2}{2Mr_0^2} \left(\ell-\frac{q\Phi}{h}\right)^2

buluruz. Bir elektron için parantez ℓ+Φ/Φ0\ell+\Phi/\Phi_0 olur. Sıfır akıda temel açısal durum ℓ=0\ell=0‘dır. Yarım akı periyodunda ℓ=0\ell=0 ve ℓ=−1\ell=-1 durumlarının ikisi de aynı 1/41/4 parantez karesini verir. Tam bir akı periyodunda en düşük durum ℓ=−1\ell=-1 olur ve enerji yeniden sıfıra iner.

Buradaki “yeniden aynı” ifadesi spektrumun tamamı içindir: akıya bir periyot eklediğimizde tamsayı etiketleri bir basamak kayar. Tek tek aynı etiketli özenerjilerin değişmediğini söylemiyoruz. Bu etiket kaymasını atlamak, periyodik spektrumdan yanlış bir enerji korunumu çıkarılmasına yol açabilir. Akıyı gerçekten zamanla değiştiren bir süreçte elektrik alan indüklenir; enerji aktarımı ve hangi durumun izlendiği ayrıca çözülmelidir. Statik özenerjiler, bu süreç hakkında tek başına tam bir dinamik cevap vermez.

Bu halka hesabı iki yol sonucunu bağımsız bir sınır koşulu üzerinden kontrol eder. Potansiyeli yerel olarak sıfırlamaya çalışsak bile dalga fonksiyonunun halka çevresindeki tek değerliliğine aktarılan faz aynı akı bilgisini korur. Etkiyi yalnız Hamiltonyenin bir satırından kaldırmak yeterli değildir; dalga fonksiyonunun izin verilen tanım bölgesi de hesapta tutulmalıdır.

15. Görünürlük ile faz kaybını ayırt etmek

Dengesiz iki yol örneğinde görünürlüğün küçülmesi hâlâ tam koherent bir saf durumla açıklanabiliyordu. Şimdi her tekrarın göreli fazına kontrolsüz bir ζ\zeta eklendiğini düşünelim. Tek tek tekrarlar için artı çıkış olasılığı (1+Vcos⁡(δ+ζ))/2(1+\mathcal V\cos(\delta+\zeta))/2‘dir. Çok tekrarın ortalaması alınırken fazın kendisini değil bu olasılığı ortalamalıyız. Kosinüs doğrusal olmadığından ortalama fazı formüle koymak genel olarak aynı sonucu vermez.

Somut olarak gürültü iki değeri eşit olasılıkla alsın: +β+\beta ve −β-\beta. Kosinüs toplam özdeşliğiyle ortalama

cos⁡(δ+β)+cos⁡(δ−β)2=cos⁡δcos⁡β\frac{\cos(\delta+\beta)+\cos(\delta-\beta)}2 =\cos\delta\cos\beta

olur. Böylece görünürlük ek bir ∣cos⁡β∣|\cos\beta| çarpanıyla azalır. β=π/3\beta=\pi/3 ise dengeli kollarda bile ortalama görünürlük yarıya düşer. Sıfır merkez fazda artı çıkış olasılığı 3/43/4, yarım tur merkez fazda 1/41/4 olur. Bu sonuç, bütün tekrarların ortalama fazı sıfır olduğu halde tam yapıcı girişim oluşmadığını gösterir. Faz dağılımı hakkında yalnız ortalamasını bilmek yeterli değildir.

Bir deneyde benzer sinyal azalması dengesiz demet ayırıcıdan, enerji dağılımından veya çevresel faz gürültüsünden gelebilir. Bu olasılıkların hepsi aynı ölçüm eğrisine bazı koşullarda benzer biçimde yansır. Ayırıcıların geçirgenliğini ayrı ölçmek ve akı sabitken faz kararlılığını izlemek bu nedenle anlamlıdır. Yalnız azalan tepe yüksekliğini okuyup elektronun akıyı artık “hissetmediği” sonucuna varamayız.

16. Bir faz haritası ile fiziksel alanı ayırmak

Ayar dönüşümünün iptalini çok basit bir yerel örnekle yeniden düşünelim. Başlangıçta bir doğru boyunca potansiyel sıfır olsun. Sabit gerçek κ\kappa için χ(x)=κx\chi(x)=\kappa x seçersek yeni potansiyel Ax′=κA_x'=\kappa sabit olur ve yeni dalga fonksiyonu eiqκx/ℏψ(x)e^{iq\kappa x/\hbar}\psi(x)‘tir. Artık dalga fonksiyonunun uzay boyunca fazı daha hızlı dönüyor gibi görünür. Fakat yeni kanonik momentum ile yeni mekanik momentum aynı şey değildir.

Başlangıç çözümü eikxe^{ikx} düzlem dalgası olsun. Dönüşen fonksiyonun dalga sayısı k+qκ/ℏk+q\kappa/\hbar olur. Kanonik momentum ölçüm gösterimi ℏk+qκ\hbar k+q\kappa değerini taşır. Mekanik momentumdan qAx′=qκqA_x'=q\kappa çıkarınca yeniden ℏk\hbar k elde edilir. Aynı hareketi iki farklı gösterimde anlatmış olduk; hız ve kinetik enerji değişmedi. Bu doğrudan hesap, konuma bağlı faz gradyanını tek başına ivme veya kuvvet diye okumanın neden hatalı olduğunu gösterir.

İki yolun aynı uçları arasında bu dönüşümün faz farkı da birbirini götürür. Kapalı bir çevrimde tek değerli χ\chi için başlangıç ve bitiş aynı olduğundan toplam değişim sıfırdır. Solenoid örneğindeki küresel sorun ise tam burada ortaya çıkar: dış bölgenin tümünde aynı düzgün, tek değerli fonksiyonla potansiyeli yok edemeyebiliriz. Dolayısıyla yerel iptal hesabı ve kapalı çevrimin ölçülebilir fazı birbirine karşı iki önerme değildir; ikisi birlikte teorinin ayardan bağımsız yapısını gösterir.

17. Akıdan alan şiddetine dönmek

Fazı belirleyen büyüklük yalnız manyetik alanın tepe değeri değildir; kapalı çevrimin sardığı akıdır. Bunu sayıyla kontrol etmek için tüpün içinde düzgün bir alan ve dairesel kesit varsayalım. Yarıçap yüz nanometre olsun. Metreye çevirdiğimizde yarıçap 10−710^{-7} metre, alan ise π×10−14\pi\times10^{-14} metrekaredir. Yarım elektron akı periyodunu üretmek için gerekli alan büyüklüğü

B=Φ0/2πR2≈2.067833848×10−153.141592654×10−14 T≈0.0658212 TB=\frac{\Phi_0/2}{\pi R^2} \approx\frac{2.067833848\times10^{-15}}{3.141592654\times10^{-14}} \,\mathrm T\approx0.0658212\,\mathrm T

çıkar. Bu alanın parçacık yollarında bulunduğunu varsaymadık; ideal tüpün içindeki alanı hesapladık. Aynı akıyı yarıçapı iki kat büyük kesitte üretmek için alan dörtte bire iner. İki kol tüpün tamamını sarıyorsa ideal AB fazı değişmez. Dolayısıyla fazı yalnız tesla cinsinden alanla ilişkilendirmek eksik olur; geometri de akı üzerinden hesaba girer.

Buna karşılık yollar tüpün bir kısmından geçecek veya alan sızıntısının olduğu bölgeye girecek biçimde değiştirilirse artık aynı ideal problem çözülmüyor demektir. Akı katkısına ek olarak yerel kuvvet ve dinamik faz araştırılmalıdır. Bu ayrım hesapta basittir: önce erişilebilir bölgeyi, sonra alanın nerede sıfır olduğunu, en son kapalı yolun hangi yüzeyi sardığını belirtiriz. Alan sıfır cümlesinin hangi bölgeye ait olduğunu yazmadan kurulan bir anlatım, Stokes teoremiyle sahte bir çelişki üretir.

18. Kaynaklar ve yorum sınırı

MIT, R. L. Jaffe’nin yüklü parçacık ders notları, özellikle dördüncü bölümde, solenoid dışındaki potansiyel ve AB düzenini ele alır. David Tong, The Quantum Hall Effect, bölüm 1.5.3 akı tüpü etrafındaki fazın açık ders kaynağıdır. Buradaki türev iptalleri, normalize iki çıkış hesabı ve sayısal örnekler SI birimleriyle ve işaretli qq konvansiyonuyla yazıldı. Sonuç, ayara bağlı her yerel potansiyel değerinin doğrudan ölçüldüğü iddiası değil; kapalı yol fazının ölçülebilir olduğudur.